Cambio de base.

Un tema que jamás podría pasar de moda son las reglas fisicas usadas para medir fenómenos naturales, Estas reglas, por fortuna y siempre y cuando se encuentren en el terreno de la materia conocida (Anulando materia oscura) Se pueden utilizar en cualquier parte del universo siempre y cuando se haga un respectivo cambio de base.

Es decir, las reglas que utilizamos en cierta región de la tierra para calcular por ejemplo la traslación de neptuno con respecto a la tierra son constantes dado la particularidad del caso con respecto a toda la superficie terrestre.

Pero si nosotros ocupáramos medir la traslación de neptuno tomando las mismas reglas y patrones pero situados en la superficie marciana o en la misma luna no arrojaría datos funcionales en absoluto.

Este es el clásico ejemplo en donde gracias a la intersección del algebra vectorial, lineal y geometría analítica entra en función una parte del estudio de Espacios Vectoriales: Cambio de Base.

Uno de mis temas favoritos dentro del área de las matemáticas por cierto.

Muchas de las aplicaciones del álgebra lineal a la física, ingeniería, ciencias sociales, etc., pueden formularse de manera sencilla si se elige el sistema de coordenadas apropiado. También, los problemas de espacios vectoriales pueden simplificarse eligiendo una base adecuada. Estudiaremos las relaciones que vinculan las coordenadas de un vector con respecto a diferentes bases.

Empezaremos con un ejemplo; tomemos  B = { (1,0,-1), (-1,1,0), (1,1,1) } como base de ³ y w = (2,-3,4) un vector en ³. Expresaremos w como combinación lineal de B

-¿porqué esto es posible para cualquier w en ³?.

Es decir, queremos encontrar escalares a, b, g tales que

(2,-3,4)=a(1,0,-1)+b(-1,1,0)+g(1,1,1)

lo cual nos lleva al sistema de ecuaciones,

a - b+g = 2

     b+g =-3

-a   +g  = 4,  

-¿Son los escalares a, b, g  únicos?

-¿Puede eliminar algún vector de B y todavía escribir w como combinación lineal de ese subconjunto?

En general tenemos el siguiente

Teorema 1:

Si (V,+,.) es un espacio vectorial de dimensión finita y B={v₁, v₂,...,v_n} es una base de V, entonces para cada wÎV, existen escalares únicos a₁, a₂,...,a_n tales que w=a₁v₁+a₂v₂+...+a_nv_n.

La existencia  es debida a que una base es generadora del espacio y la unicidad es por el hecho de que la base es un conjunto linealmente independiente. En efecto, supongamos que w se puede escribir de dos maneras como una combinación lineal de v₁, v₂,...,v_n; es decir,

w =a₁v₁+a₂v₂+...+a_nv_n = b₁v₁+b₂v₂+...+b_nv_n,  entonces,

(a_1-b₁)v₁ + (a_2-b₂)v₂ +...+ (a_n-b_n)v_n= 0 y como v₁, v₂,...,v_n son l.i.

 entonces a₁ = b₁, a₂ = b₂,..., a_n = b_n.

Estos escalares únicos tienen un nombre propio: coordenadas de w con respecto a la base B. Precisando más, tenemos la siguiente

Definicion 1:

Sea como antes B={v₁, v₂,...,v_n} una base de 

V y   wÎV                     tal que      

w=a₁v₁+a₂v₂+...+a_nv_n .  Las  coordenadas de w con respecto a la base B son 

 a₁, a₂, ...,a_n   y  lo escribiremos así:

                         [w]_B=( a₁, a₂,...,a_n).

Observaciones:

Ø       si B={(1,2),(0,1)} entonces

    [(2,7)]_B= (2,3) porque (2,7)=2(1,2)+3(0,1)

Ø       si C={(0,1),(1,2)} entonces

    [(2,7)]_C= (3,2) porque (2,7)=3(0,1)+ 2(1,2)

Es decir, [w]_B no solo cambia cuando la base cambia, también depende del orden de los elementos en B. Por lo tanto, para definir con precisión las coordenadas de un vector w con respecto a una base B, pediremos que la base B sea una base ordenada.